Teoría de la línea de transmisión: observación del coeficiente de reflexión y la onda estacionaria

Jul 29, 2023

Los distintos tipos de ondas en la naturaleza se comportan fundamentalmente de la misma manera. Como una voz que resuena en un acantilado, las ondas eléctricas se reflejan cuando encuentran un cambio en la impedancia del medio en el que viajan. La reflexión de las ondas puede conducir a un fenómeno interesante llamado onda estacionaria. Las ondas estacionarias son esenciales para la forma en que la mayoría de los instrumentos musicales producen sonido. Por ejemplo, los instrumentos de cuerda no funcionarían sin los efectos de previsibilidad y amplificación de las ondas estacionarias.

Sin embargo, en el diseño de RF, las ondas estacionarias no son deseables cuando nuestro objetivo es transferir energía de un bloque al siguiente en la cadena de señal. De hecho, las ondas estacionarias pueden afectar el rendimiento de diferentes sistemas de RF y microondas, desde cámaras anecoicas hasta aparatos cotidianos como los hornos microondas.

Si bien los conceptos de propagación y reflexión de ondas no son muy complicados, pueden resultar un poco confusos al principio. La mejor manera de visualizar cómo se propagan y reflejan las ondas en una discontinuidad es trazar las ecuaciones de onda para diferentes configuraciones.

En este artículo, primero derivaremos las ecuaciones requeridas y las usaremos para explicar el fenómeno de la onda estacionaria a través de varios ejemplos de formas de onda.

Primero, derivemos nuestras ecuaciones. Sé que es aburrido, pero realmente nos ayudan a comprender cómo se propagan las ondas e interactúan entre sí en una línea de transmisión. En el artículo anterior de esta serie, examinamos la respuesta sinusoidal en estado estacionario de una línea de transmisión y derivamos las ecuaciones de voltaje y corriente. Aplicando vs(t) = Vscos(ωt) a una línea, las ondas de voltaje y corriente son:

\[v(x,t)= A cos(\omega t-\beta x) + B cos(\omega t+\beta x)\]

\[i(x,t)=\frac{A}{Z_0} cos(\omega t-\beta x)- \frac{B}{Z_0} cos(\omega t+\beta x)\]

Dónde:

Estas ecuaciones corresponden a la configuración que se muestra en la Figura 1(a), donde se elige la dirección positiva del eje x desde la fuente hasta la carga. Si representamos estas ondas con sus fasores, la onda de voltaje que viaja hacia adelante (o incidente) y las ondas de voltaje que viajan hacia atrás (o reflejadas) serán, respectivamente, Ae-jβx y Bejβx, como se muestra en la Figura 1 (a).

Con respecto a los problemas de las líneas de transmisión, generalmente es más conveniente elegir la dirección del eje positivo desde la carga hasta la fuente, como se muestra en la Figura 1(b). Para encontrar las nuevas ecuaciones, necesitamos reemplazar x en las ecuaciones originales con ld. Como se expresa en la nueva variable, d, la onda que viaja hacia adelante se convierte en:

\[Ae^{-j \beta x} = Ae^{-j \beta (ld)}=Ae^{-j \beta l}e^{j \beta d} = A_1 e^{j \beta d }\]

Donde A1 = Ae-jβl es una nueva constante. Desde aquí puedes verificar que, en el nuevo sistema de coordenadas, la onda reflejada es B1e-jβd, donde B1 = Bejβl. Por lo tanto, los fasores totales de voltaje y corriente se muestran en las Ecuaciones 1 y 2.

\[V(d)=A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}\]

\[I(d)=\frac{A_1}{Z_0}e^{j \beta d}-\frac{B_1}{Z_0}e^{-j \beta d}\]

Estas ecuaciones facilitan examinar el efecto de la carga en la reflexión de la onda porque, en este caso, la carga está en d = 0, lo que simplifica las ecuaciones. Dejando d = 0, las siguientes ecuaciones se obtienen en el extremo de la carga, como se ve en las Ecuaciones 3 y 4.

\[V(d=0)=A_1+B_1\]

\[I(d=0)=\frac{A_1}{Z_0}-\frac{B_1}{Z_0}\]

Por ejemplo, consideremos el caso en el que la línea termina en un circuito abierto. Con la salida en circuito abierto (ZL = ∞), la corriente de salida es obviamente cero. De la Ecuación 4, tenemos A1 = B1 y, por tanto, el voltaje total es V(d = 0) = 2A1.

Por lo tanto, para una línea de circuito abierto, el voltaje reflejado es igual al voltaje incidente en la salida y el voltaje total en este punto es el doble del voltaje incidente. De manera similar, podemos usar las ecuaciones 3 y 4 para encontrar la relación entre la onda reflejada y la onda incidente para una impedancia de carga arbitraria ZL. Esta relación es un parámetro importante conocido como coeficiente de reflexión, del que hablaremos en breve.

Usando las ecuaciones 1 y 2, podemos encontrar la relación entre voltaje y corriente (es decir, la impedancia de entrada de la línea de transmisión) en diferentes puntos a lo largo de la línea. Esto lleva a la Ecuación 5.

\[Z_{in}(d) = \frac{V(d)}{I(d)}=Z_0 \frac{A_1e^{j \beta d}+B_1e^{-j \beta d}}{A_1e ^{j \beta d}-B_1 e^{-j \beta d}}\]

Observando que la impedancia de línea en el extremo de carga de la línea (d = 0) es igual a la impedancia de carga ZL, obtenemos:

\[Z_L = Z_0 \frac{A_1+B_1}{A_1-B_1}\]

Usando un poco de álgebra, la ecuación anterior nos da la relación entre la onda de voltaje reflejada y la onda de voltaje incidente (B1/A1), que se define como el coeficiente de reflexión Γ en la Ecuación 6.

\[\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}\]

La discusión anterior muestra que para una línea terminada, existe una relación definida entre las ondas incidentes y reflejadas. Tenga en cuenta que, en general, un coeficiente de reflexión es un número complejo y tanto la información de magnitud como de fase de Γ son importantes. Para la transferencia de energía, intentamos tener una carga coincidente (ZL = Z0), lo que lleva a Γ = 0. Bajo esta condición, la carga absorbe completamente una onda aplicada a la entrada y no se produce ninguna reflexión. Es instructivo considerar aquí otros dos casos especiales: una línea de circuito abierto y una línea de cortocircuito que abordaremos en breve.

Si bien los conceptos de propagación y reflexión de ondas no son básicamente complicados, pueden resultar confusos al principio. La mejor manera de visualizar cómo se propagan y reflejan las ondas en una discontinuidad es trazar las ecuaciones que hemos desarrollado anteriormente. Además, vale la pena mencionar que existen muchos simuladores en línea que pueden ayudarlo a desarrollar una mejor comprensión de los conceptos de propagación de ondas.

A continuación, repasemos las líneas de cortocircuito. En caso de cortocircuito, el voltaje de salida total debe ser cero en todo momento. Además, de la Ecuación 6, tenemos Γ = -1. La onda de tensión incidente viene dada por:

\[v_i (d,t)=Real \text{ } Parte \text{ }de \Big (A_1 e^{j \beta d} e^{j \omega t} \Big ) = A_1 cos(\omega t+ \beta d)\]

La curva superior de la Figura 2 proporciona la gráfica de esta ecuación en tres puntos diferentes en el tiempo t1, t2 y t3, donde t1 < t2 < t3.

Las curvas anteriores se desglosan donde:

Observe cómo la onda incidente se mueve gradualmente hacia la carga (en d = 0) a medida que pasa el tiempo. La curva central en la figura anterior muestra el voltaje reflejado que se aleja de la carga. La ecuación del voltaje reflejado es:

\[v_r (d,t)=Real \text{ } Parte \text{ }de \Big (\Gamma A_1 e^{-j \beta d} e^{j \omega t} \Big ) = A_1 cos( \omega t - \beta d)\]

Donde Γ se establece en -1 para tener en cuenta el cortocircuito. El voltaje total es la suma de los voltajes incidente y reflejado que se dan en la curva inferior. El voltaje directo fluctúa entre sus valores mínimo y máximo en todos los puntos a lo largo de la línea, incluido el extremo de carga de la línea. Sin embargo, el voltaje reflejado toma el valor opuesto al voltaje incidente, de modo que el voltaje total es siempre cero en el extremo de la carga.

La onda de voltaje total tiene una característica interesante: está quieta y, a diferencia de sus ondas constituyentes, la onda de voltaje total no viaja en ninguna dirección. Por ejemplo, los puntos de voltaje máximo y cero no se desplazan con respecto al tiempo. Para ilustrar mejor esto, la Figura 3 representa el voltaje total para 36 puntos diferentes en el tiempo.

Como puede verse, los cruces por cero (nodos) y las posiciones de máxima amplitud (antinodos) son algunas posiciones fijas a lo largo de la línea. Como la onda no viaja en ninguna dirección, se llama onda estacionaria.

Para una línea de circuito abierto (ZL = ∞), la Ecuación 6 produce Γ = 1. En este caso, la magnitud y la fase del voltaje reflejado son iguales al voltaje incidente. Las curvas superior y media de la Figura 4, respectivamente, muestran las ondas de voltaje incidente y reflejada en una línea de circuito abierto en tres puntos diferentes en el tiempo.

Tenga en cuenta que tanto la onda incidente como la reflejada tienen el mismo valor en d = 0. Por lo tanto, el voltaje total (la curva inferior) es el doble del voltaje incidente en el extremo de la carga. Como Γ = 1, la corriente reflejada Ir también tiene la misma magnitud y fase que la corriente incidente Ii. Sin embargo, la corriente total es Ii - Ir = 0 en el extremo de la carga, lo cual no es una gran sorpresa ya que la carga es un circuito abierto.

Además, podemos observar nuevamente que el voltaje total es una onda estacionaria. Esto se ilustra mejor en la Figura 5, que representa la onda de voltaje total para 36 puntos diferentes en el tiempo.

A continuación, usemos nuestras ecuaciones para examinar una línea terminada con Γ = 0,5. Las ondas de voltaje incidente y reflejada en un tiempo arbitrario se representan en la Figura 6.

Estas dos ondas viajan en direcciones opuestas. Deberías poder imaginar que en un determinado momento y en alguna posición específica a lo largo de la línea, los picos de las dos ondas coincidirán, produciendo el valor máximo de la onda de voltaje total. Esto se ilustra en la Figura 7.

Además, en algún otro momento, una posición particular a lo largo de la línea “verá” el pico de la onda más grande y el mínimo de la más pequeña, como se muestra en la Figura 8.

En estos puntos, la amplitud de la onda de voltaje total es mínima. En nuestro ejemplo, las ondas directa y reflejada tienen respectivamente una amplitud de 1 y 0,5. Por lo tanto, la onda de voltaje total tiene una amplitud mínima de 1 - 0,5 = 0,5. Para observar mejor la amplitud del voltaje en diferentes puntos a lo largo de la línea, la Figura 9 traza la onda de voltaje total en 36 instancias diferentes.

Esta figura le da una idea de la amplitud de la fluctuación en diferentes puntos de la línea. Tenga en cuenta que si bien puntos como d = 0,1881 m fluctúan entre ±1,5 V, hay otros puntos. Por ejemplo, d = 0,1568 m, que tiene una amplitud mucho menor y fluctúa entre ±0,5 V.

Una pregunta que podría hacerse es: ¿la onda total está viajando o está parada? La Figura 10 muestra un número menor de gráficos de voltaje total en algunos puntos consecutivos en el tiempo (t1

La figura muestra que, a medida que pasa el tiempo, la onda viaja hacia la carga. Tenga en cuenta que si bien la amplitud de las ondas incidente y reflejada es constante, la amplitud del voltaje combinado aumenta y disminuye con el tiempo.

Resumamos nuestras observaciones:

Por lo tanto, con todo esto en mente, es importante para nosotros saber en qué punto de este espectro está operando nuestra línea de transmisión. El parámetro VSWR (relación de onda estacionaria de tensión), que se define como la relación entre la amplitud máxima de la onda y su amplitud mínima, nos permite caracterizar qué tan cerca estamos de tener una onda estacionaria. Cuando hay reflexión total, VSWR es infinito; para una carga coincidente, VSWR es 1.

Como en otros casos, VSWR se encuentra en algún punto entre estos dos valores extremos. El VSWR nos proporciona una forma alternativa de caracterizar la cantidad de reflexión. Esto se discutirá con mayor detalle en el próximo artículo.

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